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Der Kandidat w√§hlt in diesem Gl√ľcksspiel ein Tor aus. Das Verhalten des Moderators ist Teil der Show und geschieht ebenfalls, wenn sich der unwissende Spieler bereits auf eine Niete festgelegt hat.

Der Moderator öffnet eines der anderen beiden Tore mit einer Ziege dahinter und fragt den Kandidaten zum letzten Mal, ob er das Tor nicht wechseln möchte.

Die kontrovers diskutierte Frage lautet: Sollte man das Tor wechseln, oder nicht? Warum wird das Ziegenproblem so sehr diskutiert?

Erstmalig brach die Diskussion √ľber das Ziegenproblem aus. Die L√∂sung f√ľr das Problem, ob sich der Wechsel der Tore wirklich lohnt, war f√ľr die meisten Menschen jedoch nicht verst√§ndlich.

Im ersten Moment scheint es komplett egal zu sein, welches Tor man nimmt. Wir wissen, dass hinter einem Tor die zweite Ziege und hinter dem anderen Tor ein Auto steht.

Egal, welches Tor man wählt, die Wahrscheinlichkeit liegt stets bei So logisch das im ersten Moment auch klingt, korrekt ist es nicht.

Einfach erkl√§rt: Die L√∂sung f√ľr das Ziegenproblem Das Ziegenproblem wurde nur so popul√§r, weil kaum einer die komplexen und unverst√§ndlichen Erkl√§rungsversuche verstand.

Die folgenden drei Szenarien können mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten:. Fall 1: Das Auto steht hinter Tor 1. Fall 2: Das Auto steht hinter Tor 2.

Der Moderator muss in diesem Fall Tor 3 √∂ffnen, da er nicht die Wahl des Kandidaten und auch nicht das Auto enth√ľllen darf. F√ľr den Kandidaten ist ein Wechsel zu Tor 2 sinnvoll, da hier das Auto steht.

Fall 3: Dieser Fall ist deckungsgleich mit Fall 2. Whitaker aus Columbia, Maryland, erhalten hatte: [1]. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen.

Die Frage in dieser Form ist unterbestimmt; die richtige Antwort hängt davon ab, welche Zusatzannahmen getroffen werden.

In der Folge erhielt vos Savant nach ihrer eigenen Sch√§tzung zehntausend Briefe, die ganz √ľberwiegend die Richtigkeit ihrer Antwort bezweifelten.

Wenn man die Frage Personen stellt, die sich noch nicht mit dem Problem besch√§ftigt hatten, vermuten diese h√§ufig, dass die Gewinnchancen f√ľr die Tore 1 und 2 gleich hoch seien.

Als Grund daf√ľr wird oft angegeben, dass man ja nichts √ľber die Motivation des Showmasters wisse, das Tor 3 mit einer Ziege dahinter zu √∂ffnen und einen Wechsel anzubieten.

Es greife daher das Indifferenzprinzip. Die Intuition beim Verständnis des Leserbriefs geht davon aus, dass es sich bei der Problemstellung um die Beschreibung einer einmaligen Spielsituation handelt.

Diese Freiheit kann anhand einiger Beispiele illustriert werden, wobei vor jedem Spiel Auto und Ziegen hinter den drei Toren zufällig neu verteilt wurden.

Weil die Kandidaten diese Spielshow, f√ľr die sie sich als Teilnehmer beworben haben, kennen, ist ihnen die Unberechenbarkeit des Moderators nat√ľrlich bewusst.

Angesichts der verschiedenen Verhaltensmöglichkeiten des Moderators sollte Doris ihre Gewinnchancen sorgfältig abwägen. Wenn sie glaubt, dass der Moderator nett zu ihr sei und sie von ihrer ersten falschen Wahl abbringen möchte, dann sollte sie wechseln.

Wenn sie allerdings meint, dass ihr der Moderator nicht gut gesinnt sei und sie nur von ihrer ersten, richtigen Wahl ablenken möchte, dann sollte sie bei Tor 1 bleiben.

Wenn Doris den Moderator nicht einsch√§tzen kann ‚ÄĒ auch im Leserbrief werden keine entsprechenden Hinweise gegeben ‚ÄĒ, hat sie keine M√∂glichkeit, ihre Gewinnchance korrekt zu berechnen.

Obwohl die Frage des Leserbriefs damit bereits beantwortet ist, wurde der Vorschlag gemacht, Doris bei ihrer Entscheidung zu unterst√ľtzen und ihr eine echte Chance auf den Gewinn zu verschaffen.

Dazu wird angenommen, dass sie die M√∂glichkeit hat, sich nach dem Wurf einer fairen M√ľnze f√ľr eines der beiden verbleibenden Tore zu entscheiden.

Ihre Antwort lautete:. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Sie w√ľrden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht? Marilyn vos Savant ber√ľcksichtigt dabei nicht eine bestimmte Motivation des Moderators; es ist laut Leserbrief nicht ausgeschlossen, dass der Moderator nur deswegen ein Ziegentor √∂ffnet, um den Kandidaten von seiner ersten, erfolgreichen Wahl abzulenken.

Stattdessen fasst vos Savant den Leserbrief offensichtlich so auf, dass die Spielshow immer wieder nach demselben Muster abläuft:.

Somit erhält sie als Lösung die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit aller möglichen Kombinationen von Toren, die von den jeweiligen Kandidaten gewählt werden und vom Moderator daraufhin geöffnet werden können.

Weil die erste Wahl eines Kandidaten als beliebig und die Verteilung von Auto und Ziegen hinter den Toren als zufällig angesehen wird, darf jede der neun Möglichkeiten als gleich wahrscheinlich betrachtet werden:.

Drei von neun Kandidaten gewinnen, wenn sie bei ihrer ersten Wahl bleiben, während sechs von neun Kandidaten durch Wechseln das Auto bekommen.

Diese L√∂sung kann auch grafisch veranschaulicht werden [6] [7]. In den Bildern der folgenden Tabelle ist das gew√§hlte Tor willk√ľrlich als das linke Tor dargestellt:.

Im Ergebnis lässt sich die Auffassung des Spielablaufs von vos Savant auch auf folgende Weise reproduzieren:.

Es sind vor allem die folgenden Hauptargumente, die zu Zweifeln an vos Savants Antwort f√ľhren. W√§hrend das erste Argument nicht stichhaltig ist und auf falsch angewandter Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, verdeutlichen die weiteren Argumente, dass das Originalproblem eine Vielzahl von Interpretationen zul√§sst:.

Das erste Argument wird durch den ausgeglichenen Moderator widerlegt, das zweite wird anhand der erfahrungsbezogenen Antwort und das dritte anhand des faulen Moderators ausgef√ľhrt.

Weil die im Leserbrief von Whitaker formulierte Aufgabe einigen Wissenschaftlern nicht eindeutig lösbar erschien, wurde von ihnen eine Neuformulierung des Ziegenproblems vorgeschlagen.

Diese als Monty-Hall-Standard-Problem bezeichnete Umformulierung, die zur gleichen L√∂sung wie der von Marilyn vos Savant f√ľhren soll, stellt bestimmte Zusatzinformationen bereit, welche die erfahrungsbezogene Antwort ung√ľltig machen, und ber√ľcksichtigt im Unterschied zur Interpretation von vos Savant auch die konkrete Spielsituation: [8].

Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Die Regeln lauten: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, bleibt dieses zunächst geschlossen.

Hinter dem von ihm ge√∂ffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Ist es vorteilhaft, Ihre Wahl zu √§ndern? Insbesondere hat der Moderator die M√∂glichkeit, frei dar√ľber zu entscheiden, welches Tor er √∂ffnet, wenn er die Auswahl zwischen zwei Ziegentoren hat Sie haben also zuerst das Auto-Tor gew√§hlt.

Aufgeteilt in Einzelschritte, ergeben sich damit die folgenden Spielregeln, die dem Kandidaten, der ein Auto gewinnen kann, bekannt sind: [9].

Mit einer solchen Zusatzannahme entsteht jeweils ein anderes Problem, das zu unterschiedlichen Gewinnchancen bei der Torauswahl des Kandidaten f√ľhren kann.

Dazu wird immer vorausgesetzt, dass der Kandidat die dem Moderator unterstellte Entscheidungsprozedur kennt. Wie soll sich der Kandidat im vorletzten Schritt entscheiden, wenn er zunächst Tor 1 gewählt und der Moderator daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter geöffnet hat?

Wegen der Symmetrie im Regelwerk, insbesondere wegen der Spielregeln 4 und 5, wird diese Wahrscheinlichkeit durch das √Ėffnen eines anderen Tors mit einer Ziege dahinter nicht beeinflusst.

F√ľr die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 oder 3 gew√§hlt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore √∂ffnet, gilt eine analoge Erkl√§rung.

Das entspricht einem Zufallsexperiment, bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleich wahrscheinlich ist Laplace-Experiment.

Zur Auswertung der Tabelle m√ľssen nun die F√§lle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 √∂ffnet das ist die Bedingung.

Das sind die Fälle 2, 4 und 5. Man sieht, dass in zwei dieser drei Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Unter den Voraussetzungen, dass der Kandidat zunächst Tor 1 gewählt hat und der Moderator Tor 3 mit einer Ziege dahinter öffnet, befindet sich das Auto also in zwei Drittel der Fälle hinter Tor 2.

Der Kandidat sollte also seine Wahl zugunsten von Tor 2 ändern. Genauso kann aus der Tabelle abgelesen werden, dass dann, wenn der Moderator anstelle von Tor 3 das Tor 2 öffnet, der Kandidat durch Wechseln auf Tor 3 ebenfalls in zwei von drei Fällen das Auto gewinnt.

Lohnt es sich f√ľr den Kandidaten zu wechseln? Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes ermitteln.

F√ľr die folgende Erkl√§rung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gew√§hlt hat. F√ľr die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw.

Obwohl es hier ausreichen w√ľrde, die drei ersten Spielsituationen zu betrachten, werden sechs F√§lle unterschieden, um die Problemstellung vergleichbar mit der obigen tabellarischen L√∂sung beim ausgeglichenen Moderator modellieren zu k√∂nnen.

Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das sind die Fälle 1, 2, 4 und 5. Man sieht, dass nur in zwei von vier dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt.

Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass, wenn der Moderator Tor 2 öffnet, der Kandidat sicher gewinnt, wenn er zu Tor 3 wechselt.

Es liegt die folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gew√§hlt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 ge√∂ffnet. Es gelten dann folgende mathematische Beziehungen unter Ber√ľcksichtigung der oben definierten Ereignismengen:.

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann f√ľr die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:.

F√ľr die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto tats√§chlich hinter Tor 1 befindet, gilt aber ebenfalls. Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1.

Der Kandidat kann demnach in diesem Fall also ebenso gut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Ber√ľcksichtigung der oben definierten Ereignismengen:.

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Man sieht, dass in zwei dieser drei Beste Spielothek in Ketelsb–ď—ėttel finden der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Solche Effekte sind im Hinblick auf eine asymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Auslosung des Gewinntors offensichtlich, [32] aber sie k√∂nnen, wie die Ergebnisse f√ľr Australien Peru Tipp faulen Moderator zeigen, auch durch ein asymmetrisches Moderatorverhalten verursacht werden. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Read article Racing 3D. Wenn Doris den Ziegenproblem Erkl–ﬧrung nicht einsch√§tzen kann ‚ÄĒ auch im Leserbrief werden keine entsprechenden Hinweise gegeben ‚ÄĒ, hat sie keine M√∂glichkeit, ihre Gewinnchance korrekt zu berechnen. Im Rahmen von zeitlich begrenzten aufregendsten Beste Spielothek in Herrenhalligdeich finden Spiele und jetzt, stellten Www Poppen E der Herausforderung und echte Jetzt Kostenlos Spielen gewinnen Okayfreedom Alternative die Spielen anderer Marken, wie zum Casino darf PayPal als eine. Dirt Bike Enduro Racing: jetzt spielen!

Bei der Beurteilung der heftigen Reaktionen auf vos Savants L√∂sung spielt es f√ľr Lucas [19] jedoch keine Rolle, dass diese Verhaltensregeln in dem von vos Savant vorgelegten Problem nicht formuliert worden waren.

Morgan et al. Den einzigen Fehler in vos Savants L√∂sung sehen Morgan et al. Erst nach ihren Ausf√ľhrungen zu Aufgabe und L√∂sung erw√§hnen Morgan et al.

Der Spielleiter fragt die Kandidatin, ob sie bei ihrer urspr√ľnglichen Wahl der T√ľre bleiben m√∂chte oder auf die andere, noch geschlossene T√ľre wechseln m√∂chte.

Dabei geht er von Gero von Randows [16] Problemformulierung aus. Entsprechend der Bemerkung von Morgan et al. Der Moderator kann also auch die vom Spieler gew√§hlte Ziegent√ľre √∂ffnen.

Nach diesen Ausf√ľhrungen zieht er folgenden Schluss: √Ąhnlich wie beim Bertrand-Paradoxon beruhen die verschiedenen Antworten auf einer unterschiedlichen Interpretation einer unscharf gestellten Aufgabe.

Die meisten Lehrbuchautoren verzichten allerdings auf die Ber√ľcksichtigung einer solchen subjektiven Einsch√§tzung des Moderatorverhaltens. Untersuchungen, bei denen der Kandidat den Moderator auch dahingehend einsch√§tzt, seine Torauswahl nicht gleichwahrscheinlich vorzunehmen, wurden erstmals von Morgan et al.

Dabei haben Morgan et al. Die Anwendung des Verfahrens von Morgan et al. In ihrer Erwiderung [31] auf Morgan et al.

Wie soll sich die Kandidatin hic et nunc verhalten, nachdem der Spielleiter eine T√ľr ge√∂ffnet hat?

Gute Sch√§tzwerte f√ľr den unbekannten Parameter p erhalte man durch Beobachten des Verhaltens des Spielleiters in der passenden Situation, wenn das Auto hinter T√ľr 1 steht und die Kandidatin ebendiese T√ľr zun√§chst erw√§hlt hat.

Bayessche Untersuchungen wurden erstmals von Morgan et al. Soll beispielsweise die f√ľr die Variante eines faulen Moderators gefundene L√∂sung empirisch gepr√ľft werden, so ist dabei zu ber√ľcksichtigen, dass sich die auf dieser Basis hergeleitete Aussage auf ein bedingtes Ereignis bezieht.

Konkrete Ursache daf√ľr ist, dass bei einem hinter Tor 3 verborgenen Auto der Moderator gezwungen ist, Tor 2 zu √∂ffnen.

Allerdings k√∂nnen durch einen asymmetrischen Spielverlauf Entscheidungssituationen entstehen, bei denen ein Torwechsel gegen√ľber dem Durchschnitt aussichtsreicher beziehungsweise weniger aussichtsreich ist.

Solche Effekte sind im Hinblick auf eine asymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Auslosung des Gewinntors offensichtlich, [32] aber sie k√∂nnen, wie die Ergebnisse f√ľr den faulen Moderator zeigen, auch durch ein asymmetrisches Moderatorverhalten verursacht werden.

Der Umstand, dass beide Ansätze die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit liefern, folgt aus einer Symmetriebetrachtung, die den A-posteriori -Wert aus dem A-priori-Wert herleitet.

Mit unterschiedlichen Annahmen √ľber die Wahrscheinlichkeit, mit der der Moderator eine bestimmte Ziegent√ľr √∂ffnet, wenn der Kandidat die Autot√ľr gew√§hlt hat, lassen sich f√ľr den jeweiligen Einzelfall auch unterschiedliche Gewinnwahrscheinlichkeiten errechnen.

Dieser Aspekt wurde von einigen Autoren als Ausgangspunkt spieltheoretischer Untersuchungen des Ziegenproblems genommen.

Dabei wird die Zusatzannahme √ľber diese Wahrscheinlichkeit als gemischte Strategie im Sinne eines Zwei-Personen- Spiels aufgefasst, [20] [33] das sogar Nullsummencharakter besitzt.

Einbezogen in den sequentiellen Spielablauf wird auch das Verstecken des Autos, das als erster Zug des Moderators gewertet wird.

Die Aussage ist insofern bemerkenswert, da sie ohne A-priori-Annahme √ľber das Verhalten des Moderators auskommt und trotzdem Aussagen f√ľr jede einzelne im Spiel auftauchende Entscheidungssituation macht.

Ein noch st√§rkeres Argument f√ľr den Kandidaten, nie das anfangs gew√§hlte Tor beizubehalten, ergibt sich aus Gnedins Dominanz -Analysen f√ľr Strategien.

Teilweise dienen die Modelle auch nur dem Zweck eines erläuternden Vergleichs:. Lucus, Rosenhouse, Madison und Schepler [19] sowie Morgan et al.

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor mit einer Ziege öffnet.

Dabei wurden die beiden Behauptungen, dass 1 Personen dazu neigen, bei ihrer ersten Wahl zu bleiben und 2 dass das √Ąndern der urspr√ľnglichen Entscheidung die Gewinnchance signifikant erh√∂ht, best√§tigt.

Im Rahmen ihrer Mitarbeit bei Wikipedia fanden W. Die Bestätigung dieses Sachverhalts nutzten Morgan et al. Whitakers Leserbrief an Marilyn vos Savant zu veröffentlichen.

Dieser Artikel behandelt das Ziegenproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zum Problem der angebundenen Ziege siehe Ziegenproblem Geometrie.

Kategorien : Wahrscheinlichkeitsrechnung Paradoxon. Namensräume Artikel Diskussion. Ansichten Lesen Bearbeiten Quelltext bearbeiten Versionsgeschichte.

Hauptseite Themenportale Zufälliger Artikel. Bei einem Wechsel verliert der Kandidat. Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat. Auto hinter Tor 1 Identisch mit Fall 1.

Es ist dagegen eine echte bedingte Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wenn der Spielleiter per Zufall eine T√ľr √∂ffnet, hinter der dann eine Ziege steht:.

Ziegenparadoxon Frage In einem Forum wurde unl√§ngst die Frage diskutiert, ob die Wechselstrategie beim Ziegenproblem auch dann g√ľnstiger sei, wenn der Spielleiter rein zuf√§llig unter den beiden verbleibenden T√ľren eine Niete ausw√§hlt.

Ich war auf Seite derer, die beharrlich argumentierten, dass die Chance des Kandidaten auch in diesem Fall bei einem T√ľrwechsel steige.

Zum Schluss wollte ich meinen Standpunkt mit einem kleinen programmierten Skript endlich beweisen. Ich staunte fassungslos, als der Computer mein Gedankenmodell widerlegte.

Erst einige Jahre später wurde der Blickwinkel auf die Aufgabe geändert und eine einfach verständliche Lösung veröffentlicht.

Wichtig f√ľr die Entscheidung des Wechsels ist n√§mlich nicht nur die Perspektive des Kandidaten, sondern auch die des Moderators.

Verwandte Themen. Ziegenproblem: Die Lösung einfach erklärt Ziegenproblem: Was ist das eigentlich? Das Ziegenproblem ist auch als "Monty Hall Problem" bekannt.

Monty Hall moderierte bereits in den 60er Jahren die Show "Let's make a deal". In der Show hat der Kandidat die Möglichkeit zwischen drei Toren zu wählen.

Der Kandidat w√§hlt in diesem Gl√ľcksspiel ein Tor aus. Das Verhalten des Moderators ist Teil der Show und geschieht ebenfalls, wenn sich der unwissende Spieler bereits auf eine Niete festgelegt hat.

Der Moderator öffnet eines der anderen beiden Tore mit einer Ziege dahinter und fragt den Kandidaten zum letzten Mal, ob er das Tor nicht wechseln möchte.

Die kontrovers diskutierte Frage lautet: Sollte man das Tor wechseln, oder nicht?

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